Thinking Project (2) – 全同性（下）

继续民科

这次把数学式子都搬上来了，看样子准备在这上面写毕业论文了。

 

 

不可分辨性是以全同性为基础的，但又比全同性要求更高。全同性只是说我们不能通过内秉量子数来区分粒子，但仍然可以用非内秉量子数来区分，如空间坐标、动量、自旋分量等。量子力学教科书上一般会举这样一个例子：两个全同粒子如果走的都是经典轨道，我们就可通过跟踪轨道来区分两个粒子，但由于波粒二象性，当两个粒子的波函数发生重合时，就没法区分两个粒子了。这个例子说得很模糊，一般情况下，波函数都是非定域的，两个粒子之间多少都有重叠，那么，重叠到什么程度，才说两个粒子不可分辨？波函数的重叠是个连续过程，而是否可分辨却有质的区别，因为不可分辨性对波函数的对称性提出了要求，这是有观测效应的，比如某些态就不能存在。我一直没搞清楚这个问题，直得最近再听了一遍李cs老师的量子才让我茅塞顿开：不可分辨性原来是个观测效应。与量子力学的其他诡异性质一脉相承，观测同样在不可分辨性中起到关键作用。两个粒子是否可分辨，取决于观测量，如果某一个观测过程不去“区分”两个粒子的不同性质，那么他们对这样一个过程而言就是不可分辨的。听起来像废话，呵呵，不过由于不可分辨性在量子力学里有观测效应，这还是很不trivial的。这样一来，一些测量问题可以用不可分辨性来解释。比如学过量子力学的人都知道著名的电子双缝干涉which way退相干实验：

    由于电子的波动性，可以产生类似光波的双缝干涉效应。设电子通过左右两条缝到达屏的空间归一化波函数分别为φ₁(z)，φ₂(z), 其中z表示屏上的坐标。由于两条缝完全对称，则电子波函数可写为

ψ(z)=(φ₁(z)+φ₂(z))/√2                          （1）

由此可以计算屏上的电子分布相对几率：

|ψ(z)|² = |(φ₁(z) + φ₂(z) )/√2|²

 = ［|φ₁(z)| ² + |φ₂(z)|² + 2Re(φ₁*(z)φ₂(z))］/2 （2）

其中2Re(φ₁(q)* φ₂(q))就是干涉项。

    如果挡住一条缝，让某些电子先从1缝通过，再让某些电子从2缝通过，则屏上电子分布为所有电子的几率简单平均：

|ψ’(z)|²= (|φ₁(z)| ² + |φ₂(z)|²)/2                     （3）

可以看出干涉项消失了，对应的结果就是干涉条纹消失。

    Which way实验是指，如果能够用实验手段分辨出电子从那一条缝通过，干涉条纹也会消失。对此，海森堡曾用测不准原理作解释，当我们观测电子路径时，相当于把电子沿z方向的空间位置限制在与缝宽同量级的区域内，而根据测不准关系，动量的不确定度与位置成反比，这就会使得电子z方向的动量不确定度增大，进而电子到达屏上的z方向位置不确定度可增大到与干涉条纹宽度相当的量级，使得干涉条纹消失。

    但我对这种解释一直不满，因为我认为测不准关系不是量子力学的基本原理，并且这个解释借助了“双缝”这样一个具体的装置。相干性和测量的关系应该存在更为直接的联系。当我意识到不可分辨性是观测性质的时候，便尝试着用不可分辨性去解释which way实验，居然凑出来了：

    考虑双电子干涉，设它们打在屏上的坐标分别为z₁、z₂，并假设空间波函数和自旋波函数可分离。当无法判断电子从那条缝走的时候，这两个电子不可分辨，于是要求他们的波函数具有反对称性，考虑到自旋部分可以对称或反对称，则空间波函数也可以反对称或对称，即

ψ(z₁,z₂) = (φ₁(z₁)φ₂(z₂) ± φ₁(z₂)φ₂(z₁))/√2   （4）

由概率论不难得到屏上的总几率分布是两个电子几率的叠加（为与前面的单电子几率比较，取平均：

ψ(z)|² = （|∫ψ(z,z₂)dz₂|² + |∫ψ(z₁,z)dz₁|²）/2

  = (|φ₁(z)| ² ± |φ₂(z)|²)/4 + (|φ₂(z)| ² ± |φ₁(z)|²)/4

=［|φ₁(z)| ² + |φ₂(z)|² ± 2Re(φ₁*(z)φ₂(z))］/2 （5）

与用单电子波函数算得的干涉几率分布一样。

    如果可以判断电子从那条路径走（无论用什么手段），就意味着两个电子可以通过路径分辨（不考虑两个电子都走同一条缝的情况，因为肯定不会有干涉）。此时电子总空间波函数不要求对称性，可写为：

ψ(z₁,z₂) =φ₁(z₁)φ₂(z₂)                            （6）

再求屏上的平均几率分布为：

|ψ’(z)|² =（|∫ψ(z,z₂)dz₂|² + |∫ψ(z₁,z)dz₁|²）/2

             =(|φ₁(z)| ² + |φ₂(z)|²)/2                        （7）

这正是让电子分别通过一条缝所得到的无干涉结果。可见分辨电子走那条路径与完全控制电子走那条路径，这两种操作是等效的。

 

几点讨论：

1.         有没有发现，干涉几率分布 (5) 跟（2）不完全一样，（5）中出现了一个±，其中负号来自空间波函数的反对称。而含负号的干涉与含正号的干涉条纹明暗正好相反，特别是屏中心等路程处是暗条纹而不是一般的亮条纹！波函数的反对称性相当于一个相位差。其实以上讨论对光子同样成立，不同的是，光子的自旋只有1和-1两个分量，因此双光子的总自旋只能取0或2，光子是玻色子，那么总自旋波函数就是对称的，则空间波函数也总是对称的，因此永远不会出现等光程处是暗条纹这一反常现象。但电子却不同，空间波函数有可能取反对称，只要让两个电子处于总自旋为1的态（对称）即可。不知道现在的实验能不能做到极化电子的干涉，有没有对这一现象进行过验证。（呵呵，这个解释是可证伪的，不是伪科学了）

2.         后来翻了一下曾谨言的书，发现他在卷2（P57）提到98年Durr等人在Nature上报道的一个实验，大意是通过让Rb原子的内部态与路径纠缠在一起而不用测量就可分辨路径，这样仍然可以退相干，因此对海森堡的解释提出质疑，而对我的解释却没有影响。而且我想利用全同性同样可以处理空间波函数与内部波函数纠缠的情况，值得一试。

3.         在关洪《量子力学的基本概念》P260谈到了一个更为诡异的实验：双光源干涉。从两个独立的激光源发出的光子居然可以干涉，而且是单光子干涉！当然，我的解释还可以“存活”，因为波函数的对称性并不只是在不可分辨时才出现，后者是前者的充分非必要条件，因此可以想象粒子们“凑巧”（巧得太诡异了）处于某个具有交换对称性的态。还没有找那个实验的文献来看，深切怀疑中，这两个激光源一定有什么问题！